FFT - Report

• Fast Fourier Transform - PDS class
• Federal University of Campina Grande
• Hortencia Diniz Dultra e Silva - 05/10/23

É uma atividade que consiste na implementação da Transformada Rápida de Fourier (FFT) por decimação no Tempo, utilizando Python e o Colaboratory para executar o código.

Build e Execução

1. As bibliotecas 'numpy' e 'matplotlib.pyplot' para realizar cálculos e plotagem, respectivamente;

2. Foi feito um teste para saber se o numero digitado estava em potência de dois, caso contrario, use o método "Zero Pad";

3. Dois arrays são criados e preenchidos com sequências pares e impares do sinal

4. A frequência de amostragem "fs" foi definida como 8KHz, que é a taxa de amostragem do sinal;

5. Foi criado um vetor de tempo t usando 'np.arange' que varia de 0 a 1 segundo com uma taxa de amostragem de 1/fs. Isso cria um vetor de tempo com pontos igualmente espaçados.

6. Foram definidas as frequências f1 e f2 como 1KHz e 2KHz, respectivamente, que são as frequências das duas senoides que compõem o sinal de entrada (este exemplo foi o mesmo utilizado para a DFT, retirado do livro de apoio).

7. Foi calculado o vetor de frequência 'frequencies' correspondente à FFT usando a função np.fft.fftfreq. Isso nos fornece um vetor de frequência que corresponde aos coeficientes da FFT.

8. A plotagem foi limitada para mostrar apenas os primeiros 0.004 segundos (4 períodos) do sinal.

9. Foi feita a IFFT - Inverse Fast Fourier Transform - para saber se o sinal reconstruído a partir da frequência gerava o sinal de inicio.

10. Por fim, comparei os gráficos que relacionam o tamanho da DFT e da FFT com o seu tempo de execução, claramente a FFT foi significativamente mais rápida.

Exemplo de resultado

com um sinal x(t) de entrada descrito por:

$$x(t) = \sin(2 \pi 1000 t) + 0.6 \cdot \sin(2 \pi 2000 t)$$

O resultado da operação de FFT é mostrado a seguir e, como esperado, a transformada de cada seno são dois impulsos, cada uma na sua respectiva frequência e amplitude pré-determinadas.

O gráfico que relaciona o tempo em relação ao tamanho da FFT é:

Aqui está o gráfico que relaciona o tempo em relação ao tamanho da DFT:

DFT e FFT têm mesmo tamanho

Nota: O código ainda requer testes para outros sinais de entrada.

Livro de apoio: Rychard G. Lyons, Understanding Digital Signal Processing, Third Edition, Chapter Three, The Discrete Fourier Transform